Foredrag

Abstract: An expository talk about how embedding for Stein manifolds solves the problem of embedding of real analytic manifolds.

Abstract:

Abstract: Med udgangspunkt i Euklidisk geometri vil vi diskutere, hvorledes afstands- og krumnings-begreber har udviklet sig i geometri gennem de seneste årtier. Vi vil belyse , hvorledes denne udvikling er kædet sammen med begreber for afstande mellem individuelle rum, og illustrere betydningen af disse ideer for Riemannsk geometri.

Abstract: De fleste har hørt om Pythagoras' matematiske beskrivelse af naturtonerækken og dens uforenelighed med den moderne ligesvævende stemning af keyboards. Man bruger fejlagtigt betegnelserne renstemning versus veltempereret stemning. Færre er klar over at Bachs 'Das Wohltemperierte Klavier' slet ikke er skrevet for keyboard stemt i den moderne, ligesvævende stemning, men derimod i Kirnbergers-stemning, som er et mirakuløst forening af middelalderens pythagoræiske stemning og renaissancens middeltonestemning, hvor alle tonearter er anvendelige, men får individuelle særpræg og musikalske anvendelsesmuligheder. Den moderne stemning, som udjævner de enkelte tonearters positive og negative træk, gør dem derimod ensartede og karakterløse.

I foredraget vil de nævnte stemningstypers kvaliteter blive beskrevet matematisk, herunder det syntoniske og det pythagoræiske komma. Stamtoner/stamakkorder kan ved en logaritmisk projektion opfattes som punkter/punktmængder i en abelsk gruppe hvis elementer er følger af hele (eller rationale) tal som er nul fra et vist trin.

Når et keyboard er renstemt i C-dur, så vil f.eks. akkorderne A-dur, Es-dur, h-mol og cis-mol klinge rent, mens D-dur, B-dur, f-mol og d-mol vil klinge falsk. I foredraget vil jeg bl.a. vise en geometrisk metode der giver hurtigt overblik over renheden af en hvilken som helst akkord.

Foredraget er matematisk elementært og vil være ledsaget af demonstrationer på digitalklaver af de forskellige stemninger. Tilhørerne forventes at folde deres opmærksomme ører ud.

Abstract: Som bekendt findes der netop fire plane geometrier: Den Euklidiske geometri, Minkowski-geometrien, den sfæriske og den hyperbolske geometri. De to første opfylder parallelaksiomet, mens de to sidste (som er naturlige overbygninger til de to første) bryder parallelaksiomet.

Minkowski-geometrien kan indføres på mange forskellige måder. I foredraget vil jeg give en elementær indføring i Minkowski-geometrien, der tager udgangspunkt i en udskiftning af cirklen med en ligesidet hyperbel som den fundamentale symmetrifigur i planen. Det giver umiddelbart anledning til et nyt vinkelbegreb og en nytolkning af mange sætninger fra den elementære geometri. Denne opbygning af Minkowski-geometrien giver samtidigt direkte anledning til at knytte den naturlige eksponentialfunktion og den naturlige logaritmefunktion til det hyperbolske vinkelmål – og derigennem til en elementær indføring i hyperbolsk trigonometri på geometrisk grundlag.

Derved giver Minkowski-geometrien ikke bare anledning til at placere velkendte begreber fra den gymnasiale undervisning i nyt perspektiv, men også til at dyrke karakteristiske matematiske specialiteter, som generaliseringer og forskellige typer beviser.

Abstract: Jeg vil i mit indlæg fortælle om projektet "Matematik og naturvidenskab i verdensklasse", som er et pædagogisk eksperiment som er i gang lige i øjeblikket. Der er tre kategorier, hvoraf jeg er involveret i "overgangsproblemer fra folkeskolen til gymnasiet".

Det drejer sig om et samarbejde mellem fagene matematik og fysik i folkeskole og gymnasium. Jeg er involveret som fysiklærer, men det kunne lige så godt være som matematiklærer, da vi samarbejder. De interessante delprojekter er et "Robolabprojekt" som er gennemført for største delen, den anden del er noget der kaldes KUF-projektet, og som går ud på at lære eleverne at "tænke" rigtigt, ved at omlægge et antal fysiktimer til "tænketimer". Vi bruger et koncept der er udarbejdet pa Aarhus Universitet hvor det gennemgående tema er at lære eleverne om forskellige aspekter af at bruge variable (afhængig/uafhængig variabel, forskel på en variabel og dens værdier, variabel kontrol etc). Der er planlagt 8 seancer med stigende kompleksitet.

Abstract: Med udgangspunkt i mekanisk konstruktion og design vil jeg berøre forskellige aspekter af matematikkens rolle i teknik. Som det "hemmelige" værktøj og som central ingrediens i den tekniske videnskab. Og samtidig uden at teknikken har påtaget sig matematikkens normale videnskabelige norm.

Abstract: Matematik er et jubelfag, som folkeskolens matematiklærerforening skrev for en årrække siden. I gymnasiet har faget stor succes, idet mange elever vælger matematik på højniveau. Matematik er ikke inde i samme "krise" som den fysik oplever. Alligevel er der en række småproblemer: eleverne behersker ikke de elementære færdigheder, kan ikke forstå abstrakt bevisførelse og flere og flere efterspørger relevansen af faget. Samtidig har vi lommeregnere, der stort set kan løse de fleste af gymnasiematematikkens problemstillinger på få sekunder. Dette gør, at matematikundervisningen vil ændres radikalt i det 21. århundrede. Meget af det "gamle" i faget vil forsvinde, og jeg vil forsøge at pejle mig ind på elementer af fremtidens matematikundervisning.

Abstract: Ved design i et CAD-system af f. eks. et skibsskrog vil der ofte tilsidst være små uønskede buler og variationer som det tager uforholdsmæssig lang tid at slippe af med. Hvis man forestillede sig at man havde en træmodel ville man tage sit fine sandpapir for at give den sidste finish. Chefdesigneren på Lindø Værftet har da også udtrykt sit ønske om et "elektronisk sandpapir".

En måde at fremstille et sådant elektronisk sandpapir på er af have et kvantativt mål for pænheden af en flade. Givet et sådant kan man anvende standard optimerings metoder til at forbedre designet. Jeg vil i foredraget forklare hvilke krav man stiller til et sådant såkaldt fairings-mål og hvordan man på en rationel måde kan definerer sådanne.

Abstract: Jeg har i flere år tumlet med homotopi Lie grupper, som er homotopi teoretiske versioner af kompakte Lie grupper. Ligesom Lie grupper har de maximale tori og Weyl grupper. Klassifikationssætningen siger, at der er en bijektiv korrespondance mellem sammenhængende homotopi Lie grupper ved primtallet p og reflektionsgrupper over de p-adiske hele tal. De klassiske Lie grupper svarer til de reflektionsgrupper der kan realiseres over alle primtal. Heraf følger at de kompakte Lie grupper er karakteriseret som endelige løkkerum med maximale tori (The maximal torus conjecture). På det seneste er jeg begyndt at interessee mig for homotopi Chevalley grupper. Hvad de er, og om de er interessante, ved jeg endnu ikke.

Abstract: Gibbons og Hawking beskrev i 1978 nogle vacuum løsninger til Einsteins ligninger. Disse løsninger kaldes Gravitational Multi-Instantons, og kan ofte associeres til sæbefilm i det 3-dimensionale Euklidiske rum. Det overraskende er, at disse løsninger alle er givet ved en løsning til en lineær differentialligning. Vi skal omtale et resultat fra i år, hvor det vises, at også i tilfældet hvor der er en kosmologisk konstant, kan vi finde Einstein løsninger associeret til en lineær ligning.

Abstract: Hvad er den effektive modstand i en flade (for eksempel en vindelflade eller en hyperboloide), når fladen er lavet af et ensartet elektrisk ledende materiale?

I foredraget vil vi afklare, hvad der præcist menes med det spørgsmål, hvorfor det er godt at kende svaret, og hvordan spørgsmålet kan udforskes ved hjælp af metoder og eksperimenter fra differentialgeometri, grafteori og funktionalanalyse.

Abstract: Moderne strømningsmekanik består i høj grad af numeriske simuleringer, der resulterer i overvældende datamængder, der ikke i sig selv giver megen indsigt i problemet. I virkeligheden er man oftest interesseret i at få oplysninger om de strukturer der er i strømningen, om deres dynamik, deres oprindelse og vekselvirkning.

Teorien for ikke-lineære differentialligninger viser sig at tilbyde et særdeles nyttigt redskab til at beskrive strukturer i strømninger. For et hastighedsfelt v er strømlinierne defineret som banekurverne, dvs. løsninger til x'=v, et system af differentialligninger i dimension 2 eller 3. Et kritisk punkt (hvor v=0) kan for en usammentrykkelig væske i dimension 2 være et center eller en sadel, som i strømningsmekanikken henholdsvis betegnes en hvirvel eller et stagnationspunkt, og en lang række andre termer fra teorien for ikke-lineær dynamik har ligeledes umiddelbare fysiske fortolkninger i strømningsmekanikken.

Jeg vil beskrive hvordan dette synspunkt kan bruges til effektivt at beskrive det såkaldte hvirvelsammenbrud, som er skabelsen af sekundære strukturer i en roterende strømning, og hvordan man kan opnå ny indsigt i hvirvelafløsning fra ikke-strømlinede legemer, altså den mekanisme der gør at et flag er smukkest i modvind.

Hvis tiden tillader det, vil jeg komme ind på en uventet anvendelse af klassisk algebraisk geometri til en geometrisk karakterisering af stagnationspunkternes placering i strømninger der er domineret af nogle få hvirvler.

Abstract: På en flade kan kurverne med konstant krumning nul realiseres af et elastikbånd, der udspændes mellem et givet par af punkter på fladen. Disse kurver kaldes geodæter. På tilsvarende måde kan kurverne med konstant acceleration forskellig fra nul realiseres som de kurver med acceleration større end der minimerer kurvelængden mellem det givne par af punkter.

I foredraget ser vi på kurver med konstant krumning på kompakte flader med negativ krumning. Her kan man jo vise at de periodiske geodæter ligger tæt i fladen og at der findes en geodæt, der ligger tæt i fladen. Foredragsholderen har i forskningsmonografien "Hyperbolic geometry and lambda geodesics" vist, at der til en periodisk geodæt på fladen findes en entydigt bestemt kurve af konstant acceleration med samme endepunkter. Det vises yderligere at denne kurve tillige er periodisk. Tilsvarende for geodæter der ligger tæt i fladen: Der findes en kurve af konstant acceleration med samme endepunkter og det kan vises at denne kurve tillige ligger tæt i fladen.

Abstract: At komprimere er at snyde. Der må skæres information væk hvis man vil spare plads. En central idé i moderne musikkomprimeringsmetoder, (som f.eks. mp3), er at oversætte signalet til et tid/frekvens-domæne inden man begynder at smide noget ud. Jeg vil fortælle om udviklingen af de eksisterende ortogonale tid/frekvens-transformationer og beskrive nogle nye variationer over temaet.

Abstract: Matematikken anvendes som bekendt i stort set alle ingeniørvidenskaber, men måden hvorpå det sker afhænger meget af videnskabens indhold og kultur. Her skal berettes lidt om hvad der kan ske, når en universitetsadjunkt i matematik kaster sig over drift og vedligehold af diesellokomotiver og passagervogne. Det viser sig ikke overraskende, at nogle elementer fra matematikken ofte dukker op, og at køreplanlæggerne kan hverken undvære logaritmer eller arcustangenser, men over det hele står noget mere generelt...

Abstract: Formålet med et telekommunikationssystem er at sende meddelelser mellem et antal afsendere og modtagere. I mange tilfælde bliver transmissionskanalen benyttet af flere forbindelser samtidigt, og forskellige meddelelser kan derfor interferere med hinanden; yderligere kan transmissionskanalen forvrænge meddelelserne på forskellige måder. Der er tre hovedproblemer i den forbindelse:

1. Identificerbarhed: Hvis der ingen støj er, kan meddelelserne og transmissionskanalerne da blive bestemt entydigt?
2. Optimal ydelse: I transmissionskanaler med støj, hvor nøjagtigt kan meddelelser og transmissionkanaler blive bestemt, og hvor meget information kan blive sendt gennem transmissionskanalerne?
3. Design af algoritmer som har ydelse nær ved den optimale ydelse.

Abstract: I forbindelse med eksistens- og regularitet af minima for variationelle integraler spiller konveksitet en afgørende rolle. Når der minimeres over afbildninger mellem højere dimensionale rum er de centrale konveksitetsbegreber mere eksotiske og stadig ikke forstået til bunds. Vi vil gennemgå de forskellige former for konveksitet og diskutere deres indbyrdes relationer.

Abstract: Matematikundervisningen i gymnasiet befinder sig i dag i en lidt presset situation mellem folkeskolen og de videregående uddannelser. På den ene side skal vi lære en stadig større del af en ungdomsårgang matematik, hvilket ikke bliver lettere af, at folkeskolen ikke længere skal/vil gøre meget ud af de elementære færdigheder. På den anden side skal vi forsøge at inspirere eleverne til at vælge naturvidenskabelige uddannelser, så vi må også give et indtryk af det fascinerende og smukke ved matematikken. Spørgsmålene vælter frem:

• Er "bukserne ved at revne"?
• Hvorfor bliver nogle fascineret af matematikken, mens andre udvikler matematikskræk?
• Hvorfor skal netop matematikken altid dokumentere sin anvendelighed? Er den ikke god nok i sig selv?
• Hvilke muligheder giver den tekniske udvikling for matematikundervisningen?
• Hvilken betydning har de skiftende pædagogiske modeluner?

Abstract: Derivater er finansielle produkter, som er designet så klienter kan minimere risici, som de ikke ønsker. For eksempel kan en investor i aktier i et bestemt selskab købe put-optioner på disse aktier, som giver ham ret til at sælge sine aktier for en minimum pris. Investoren køber hermed beskyttelse mod fald i aktieprisen. Det store spørgsmål i matematisk finasiering er hvor meget sådanne (og mere eksotiske) derivater skal koste. I dette foredrag vil jeg vise, hvordan dette spørgsmål kan besvares med forskellige stokastiske modeller for aktie prisen. Dette involverer stokastisk analyse med Levy-processer og Fourier transformation.