Taylorudvikling Preben Alsholm, 2/8 2006

Der findes en s\303\246rlig procedure til brug ved Taylorudvikling af et udtryk f(x). Vi tager som eksempel f\303\270lgende funktion f:= x -> x^2*(ln(x)-1); Bem\303\246rk, at 3. argument i taylor-proceduren er trunkeringsordenen, ikke udviklingsordenen: taylor(f(x), x=1, 5); whattype(%); Output er af en s\303\246rlig datatype: series (series betyder r\303\246kke). Restleddet i Taylors formel repr\303\246senteres af 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. Vi er interesseret i det fjerde Taylorpolynomium og m\303\245 derfor omdanne vores udtryk af type series til et polynomium. Dette sker ved en convert-kommando: p:=convert(%%,polynom); Hermed er p et polynomiumsudtryk. Det er dog tit mere praktisk at arbejde med Taylorpolynomiet i form af en funktion, s\303\245 vi bruger unapply: P4:=unapply(p,x); Vi tegner graferne for f og P4 i samme koordinatsystem. Den stiplede kurve (linestyle=4) er grafen for P4: plot([P4,f],0..2.5,linestyle=[4,0],thickness=3,color=[red,blue],axes=boxed,legend=["P4","f"]); Afvigelserne mellem f og P4 kan evt. plottes: plot( f-P4, 0..2.5); Taylorudviklingens orden (eller rettere trunkeringsorden) kan udelades. S\303\245 vil Maple i stedet bruge v\303\246rdien af variablen Order som ordenen. Med mindre man selv har \303\246ndret denne, har den v\303\246rdien 6: Order; Her er ordenen udeladt: taylor(exp(x),x=0); Taylorpolynomier for funktioner af flere variable kan ogs\303\245 udregnes. Proceduren hedder mtaylor. I mods\303\246tning til situationen for taylor er outputtet ikke af type series, der kommer intet O-led, men det er stadig trunkeringsordenen (den orden, som O-leddet ville have), der skal skrives som sidste argument. mtaylor virker faktisk ogs\303\245 p\303\245 en funktion af \303\251n variabel:. mtaylor( f(x), x=1, 4); type(%,series); mtaylor har alts\303\245 den fordel frem for taylor, at der intet O-led kommer: En abstrakt Taylorudvikling kan ogs\303\245 foretages b\303\245de med taylor og med mtaylor: taylor(g(x),x=a,3); mtaylor(g(x),x=a,3);

Mere generel r\303\246kkeudvikling end Taylorudvikling klares af proceduren series: udtryk:=(x^2+3)/(x-2)^2/(x+1); Vi \303\270nsker at udvikle udtryk i potenser af LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1GLDYlUSJ4RicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUkjbW9HRiQ2LVEoJm1pbnVzO0YnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGQi8lKXN0cmV0Y2h5R0ZCLyUqc3ltbWV0cmljR0ZCLyUobGFyZ2VvcEdGQi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkIvJSdhY2NlbnRHRkIvJSdsc3BhY2VHUSwwLjIyMjIyMjJlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZRLUkjbW5HRiQ2JFEiMkYnRj5GKw== og skriver derfor: series( udtryk, x=2, 7); Som for taylor kan ordenen udelades. Maple bruger da v\303\246rdien af variablen Order, der ved start er 6.