Komplekse tal Preben Alsholm, 30/8 2005

Maple regner med komplekse tal. Faktisk er den sommetider gladere for komplekse tal end vi andre. Den imagin\303\246re enhed betegnes med symbolet I (NB: Stort I). Vil vi udregne udtrykket 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 i Maple, beh\303\270ver vi blot skrive det op: (3+5*I)^4/(4-7*I); Den foretagne udregning var faktisk det man kalder en automatisk simplifikation: Den kan ikke forhindres med forhalende apostroffer: '(3+5*I)^4/(4-7*I)'; I n\303\246ste udtryk forhaler vi evalueringen af 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 ved hj\303\246lp af apostroffer: A:=(2+2*I)*'exp(I*Pi/6)'; A; For at komme videre kan enten bruges expand eller evalc. Proceduren evalc fors\303\270ger at skrive det komplekse udtryk p\303\245 rektangul\303\246r form, alts\303\245 p\303\245 formen x+iy, hvor x og y er reelle. Bem\303\246rk forskellen p\303\245 de to resultaters form: evalc(A); expand(A); Real- og imagin\303\246rdel f\303\245s ved brug af Re og Im: Re(5+37*I); Im(5+37*I); Re( a+I*b), Im( a+I*b); Der skete ikke meget her til sidst. Maple antager generelt ikke, at variable er reelle. Det g\303\270r dog proceduren evalc: evalc(Re( a+I*b)), evalc(Im( a+I*b)); Det samme resultat opn\303\245s ved eksplicit at antage, at a og b er reelle: Re( a+I*b) assuming a::real,b::real; Modulus og argument f\303\245s ved brug af henholdsvis abs og argument, men kan ogs\303\245 f\303\245s ved polar: abs(-3+3*I), argument(-3+3*I); Hen til kommoden: polar(-3+3*I); og tilbaws igen evalc(%); evalc(polar(2,Pi/3)); polar kan alts\303\245 bruges p\303\245 to m\303\245der: polar(z); polar(r,v); evalc(polar(r,v)); Vi ser, at polar(r,v); returnerer uevalueret, men med evalc omskrives til rektangul\303\246r form. Med LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUklbXN1cEdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiYUYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JJm1mcmFjR0YkNigtRiM2Iy1JI21uR0YkNiRRIjFGJy9GNlEnbm9ybWFsRictRiM2Iy1GLzYlUSJuRidGMkY1LyUubGluZXRoaWNrbmVzc0dRIjFGJy8lK2Rlbm9tYWxpZ25HUSdjZW50ZXJGJy8lKW51bWFsaWduR0ZNLyUpYmV2ZWxsZWRHUSZmYWxzZUYnLyUxc3VwZXJzY3JpcHRzaGlmdEdRIjBGJw== mener Maple en bestemt af de n r\303\270dder: (-1)^(1/4)=evalc( (-1)^(1/4) ); Med LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUklbXN1cEdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiYUYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JJm1mcmFjR0YkNigtRiM2Iy1JI21uR0YkNiRRIjFGJy9GNlEnbm9ybWFsRictRiM2Iy1GPjYkUSI0RidGQS8lLmxpbmV0aGlja25lc3NHUSIxRicvJStkZW5vbWFsaWduR1EnY2VudGVyRicvJSludW1hbGlnbkdGTS8lKWJldmVsbGVkR1EmZmFsc2VGJy8lMXN1cGVyc2NyaXB0c2hpZnRHUSIwRic= menes i Maple den rod i den binome ligning 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, der har det numerisk mindste hovedargument. Er der 2 s\303\245danne, v\303\246lges den rod, der ligger i \303\270vre halvplan. Anderledes sagt: For LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUklbXN1cEdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEiYUYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JJm1mcmFjR0YkNigtRiM2Iy1JI21uR0YkNiRRIjFGJy9GNlEnbm9ybWFsRictRiM2Iy1GLzYlUSJuRidGMkY1LyUubGluZXRoaWNrbmVzc0dRIjFGJy8lK2Rlbm9tYWxpZ25HUSdjZW50ZXJGJy8lKW51bWFsaWduR0ZNLyUpYmV2ZWxsZWRHUSZmYWxzZUYnLyUxc3VwZXJzY3JpcHRzaGlmdEdRIjBGJw== v\303\246lges den principale n'te rod af a, dvs. den rod, hvis hovedargument er LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkmbWZyYWNHRiQ2KC1GIzYjLUkjbW5HRiQ2JFEiMUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdub3JtYWxGJy1GIzYjLUkjbWlHRiQ2JVEibkYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnL0Y1USdpdGFsaWNGJy8lLmxpbmV0aGlja25lc3NHUSIxRicvJStkZW5vbWFsaWduR1EnY2VudGVyRicvJSludW1hbGlnbkdGRy8lKWJldmVsbGVkR1EmZmFsc2VGJw== af hovedargumentet for a. Dette g\303\246lder ogs\303\245 for kvadratroden. I eksemplet nedenfor bruges forhalende apostroffer af pr\303\246sentationsm\303\246ssige grunde, idet 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 af Maple bliver evalueret til 2 + I uden vores indsats: (Lighedstegnene i det f\303\270lgende er kun til udstillingsbrug) 'sqrt(3+4*I)'=sqrt(3+4*I); Anderledes ligger det med 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 . Her m\303\245 vi tvinge Maple til at angive resultatet p\303\245 rektangul\303\246r form vha. evalc: sqrt(3+5*I)=evalc( sqrt(3+5*I)); Den principale tredierod af -1: (-I)^(1/3)=evalc( (-I)^(1/3)); Den principale kvadratrod af 1 - I: (1-I)^(1/2)=evalc( (1-I)^(1/2)); Kommandoen surd(z,n) giver d\303\251n n'te rod, hvis hovedargument er t\303\246ttest p\303\245 hovedargumentet for z . Sammenlign f\303\270lgende to kommandoer: simplify( (-16)^(1/4) ); evalc(surd( -16, 4)); Vil man have den tredierod af et negativt reelt tal, der selv er et negativt reelt tal, skal man bruge surd: surd(-8,3); plot(surd(x,3), x=-8..8); Bem\303\246rk outputtet fra f\303\270lgende input, der egentlig blot er 4 komplekse versioner af tallet 2: 2+0.*I,2-0.*I,2.+0*I,2+0*I; Vi ser, at de f\303\270rste 2 tal ikke automatisk simplificeres til decimaltallet 2., mens de to sidste simplificeres til henholdsvis decimaltallet 2. og det hele tal 2. Output af form som de to f\303\270rste m\303\270der man undertiden fra forskellige af Maples procedurer. Man kan da \303\270nske at fjerne den imagin\303\246re del, som jo er nul. Hertil kan bruges simplify. Som eksempel lader vi variablen tal v\303\246re en liste best\303\245ende af tre komplekse tal: tal:=[2+.0*I,3+I,-5-0.*I]; simplify(tal);

restart; Vi beder Maple v\303\246lge et tilf\303\246ldigt 3.-gradspolynomium med heltallige koefficienter mellem -9 og 9: pol:=randpoly(x,coeffs=rand(-9..9),degree=3); Vi finder r\303\270dderne: solve(pol=0,x); Vi finder en decimalbr\303\270kstiln\303\246rmelse til r\303\270dderne: evalf(%);

restart; Vi beder Maple v\303\246lge et tilf\303\246ldigt 4.-gradspolynomium med heltallige koefficienter mellem -9 og 9: pol:=randpoly(x,coeffs=rand(-9..9),degree=4); Vi finder r\303\270dderne: solve(pol=0,x); Vi fik ikke en eksplicit repr\303\246sentation for r\303\270dderne, men alligevel kan vi finde en decimalbr\303\270kstiln\303\246rmelse til dem: evalf(%); Vil vi have en eksplicit repr\303\246sentation kan vi tvinge Maple hertil: _EnvExplicit:=true: solve(pol=0,x);

restart; Vi beder Maple v\303\246lge et tilf\303\246ldigt 5.-gradspolynomium med heltallige koefficienter mellem -9 og 9: pol:=randpoly(x,coeffs=rand(-9..9),degree=5); Vi finder r\303\270dderne: solve(pol=0,x); Vi fik ikke en eksplicit repr\303\246sentation for r\303\270dderne, men alligevel kan vi finde en decimalbr\303\270kstiln\303\246rmelse til dem: evalf(%); Vil vi have en eksplicit repr\303\246sentation kan vi pr\303\270ve at tvinge Maple hertil: _EnvExplicit:=true: solve(pol=0,x); For femte grad og derover er det en undtagelse, at en eksplicit repr\303\246sentation er mulig! Hvis det lykkedes med det tilf\303\246ldigt valgte polynomium, s\303\245 pr\303\270v igen (fra og med definitionen af pol, men uden restart).

r:=rand(-5..5): rd:=seq(r()+I*r(),k=1..5); mul((z-rd[k]),k=1..5); polC:=expand(%); solve(polC=0,z); mul((z-rd[k])*(z-conjugate(rd[k])),k=1..5); polR:=expand(%); solve(polR=0,z);

restart; ligning1:=z^4=-8+8*I*sqrt(3); r:=solve(ligning1,z); Vi beder Maple om en pol\303\246r form for hver af r\303\270dderne: map(polar,[r]); with(plots): Vi afbilder r\303\270dderne i den komplekse plan sammen med den cirkel p\303\245 hvilken de ligger: pr:=complexplot([r],style=point,symbolsize=20): pc:=complexplot(2*exp(I*t),t=0..2*Pi,color=blue): display(pc,pr);

ligning2:=z^5=1/32; r:=solve(ligning2,z); Vi beder Maple om en pol\303\246r form for alle r\303\270dderne: map(polar,[r]); simplify(%); evalf(%); Den f\303\270lgende kommando ops\303\270ger de operander i det ovenst\303\245ende udtryk, som er af typen float, dvs. decimalbr\303\270k. P\303\245 disse bruges s\303\245 proceduren identify, der fors\303\270ger at genkende det eksakte udtryk, som decimalbr\303\270ken er en tiln\303\246rmelse til: subsindets(%,float,identify); Vi fik overraskende en enkelt uudregnet arccos. Men vinklen er 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, som det ses: evalf(4*Pi/5); identify(%); Vi afbilder r\303\270dderne i den komplekse plan sammen med den cirkel p\303\245 hvilken de ligger: pr:=complexplot([r],style=point,symbolsize=20): pc:=complexplot(1/2*exp(I*t),t=0..2*Pi,color=blue): display(pc,pr);

cos(x)=convert(cos(x),exp); combine(%); sin(x)=combine(convert(sin(x),exp));

Maple kan udm\303\246rket selv udregne integralet 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, som vi ser: Int(sin(x)^4,x=0..Pi): %=value(%); Vi pr\303\270ver imidlertid at udregne integralet ved hj\303\246lp af Eulers formler: convert(sin(x),exp)^4; expand(%); combine(%); Vi har alts\303\245 fundet, at 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 er lig med convert(%,trig); Vi kan let finde en stamfunktion hertil: Int(%,x): %=value(%); Ud fra stamfunktionen findes det bestemte integral ved inds\303\246tning af \303\270vre og nedre gr\303\246nse: eval(rhs(%),x=Pi)-eval(rhs(%),x=0); i sk\303\270nneste overensstemmelse med det Maple fandt p\303\245 egen h\303\245nd!