Uge 5 Dag 2: Differentialligninger af 1. orden Preben Alsholm, 9/10 2007 with(DEtools): with(plots):

ligning1:=diff(x(t),t)=5*t^4/(x(t)-3)^2; Differentialligningen fort\303\246ller, hvordan man kan finde h\303\246ldningen (x'(t) ) for tangenten til l\303\270sningens graf i ethvert punkt (t, x ) af planen: DEplot(ligning1,x(t),t=-2..2,x=3..7,title="H\303\246ldningsfeltet for ligning1"); Vi tegner 3 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet: DEplot(ligning1,x(t),t=-1.2..2,[[x(0)=4],[x(0)=5],[x(0)=6]],x=3..7,color=grey,linecolor=[red,blue,maroon],stepsize=.02,title="3 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"); Animering: p1:=DEplot(ligning1,x(t),t=-1.2..2,x=3..7,color=grey): animate(DEplot,[ligning1,x(t),t=-1.2..T,[[x(0)=4],[x(0)=5],[x(0)=6]],x=3..7,arrows=none,linecolor=[red,blue,maroon],stepsize=.02,title="3 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"],T=-1.19..2,background=p1); Animering, hvor x(0) \303\246ndres fra 4 til 6: (Vi undertrykker advarsler, der blot skal fort\303\246lle os, at l\303\270sningernes definitionsomr\303\245de ikke omfatter hele plotteintervallet). w:=interface(warnlevel=0): p1:=DEplot(ligning1,x(t),t=-2...2,x=3..7,color=grey): animate(DEplot,[ligning1,x(t),t=-2..2,[[x(0)=x0]],x=3..7,arrows=none,linecolor=red,stepsize=.02,title="L\303\270sning med skiftende begyndelsesv\303\246rdi sammen med h\303\246ldningsfeltet"],x0=4..6,background=p1); interface(warnlevel=w): Vi kan finde den fuldst\303\246ndige l\303\270sning ved brug af dsolve. Her f\303\245s den fuldst\303\246ndige l\303\270sning p\303\245 eksplicit form: dsolve(ligning1); Der kom 3 forskellige formler i dette tilf\303\246lde. Det kan (som i dette tilf\303\246lde) undertiden v\303\246re en god id\303\251 ogs\303\245 at se l\303\270sningen p\303\245 implicit form: dsolve(ligning1,implicit); Vi ser nu hvorfor der kom 3 forskellige formler: Det skyldes, at man i ovenst\303\245ende implicitte resultat skal l\303\270se en binom ligning af 3. grad. Den l\303\270sning, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 6 findes s\303\245ledes: res:=dsolve({ligning1,x(0)=6}); L\303\270sningen kan kontrolleres vha. odetest: odetest(res,ligning1); Nullet betyder, at vi har fat i en l\303\270sning. Direkte ved "h\303\245ndkraft" kan l\303\270sningen kontrolleres ved inds\303\246ttelse s\303\245ledes: subs(res,ligning1); %; L\303\270sningen blev ogs\303\245 tegnet af DEplot ovenfor, men her kommer den s\303\245 igen: plot(rhs(res),t=-2..3);

ligning0:=diff(x(t),t)=f(t)*g(x(t)); Med f og g ukendte funktioner er der selvf\303\270lgelig ikke s\303\245 meget vi kan g\303\270re, men alligevel lidt: dsolve(ligning0); L\303\270sningen er skrevet p\303\245 implicit form.

ligning2:=diff(x(t),t)=sqrt(1-x(t)^2)/(1+t^2); DEplot(ligning2,x(t),t=-5..5,x=-1..1,title="H\303\246ldningsfeltet for ligning2"); Bem\303\246rk med det samme, at differentialligningen har to konstante l\303\270sninger, nemlig x(t) = 1 og x(t) = -1. Disse finder dsolve ikke! Alle andre er givet ved dsolve(ligning2); Mellemregning: dsolve(ligning2,implicit); res:=dsolve({ligning2,x(0)=1/2}); plot(rhs(res),t=-10..10,caption="Maples l\303\270sning"); Det ser jo nydeligt ud, men faktisk er resultatet galt p\303\245 det t-interval, hvor x(t) aftager, da det af differentialligningen fremg\303\245r, at x'(t) er ikke-negativ. N\303\245r l\303\270sningen opn\303\245r v\303\246rdien 1, m\303\245 x'(t) = 0 og l\303\270sningen forbliver 1. Skiftet sker ved t-v\303\246rdien bestemt ved at arctan(t)+Pi/6=Pi/2; dvs. for t lig med tan(Pi/2-Pi/6); eller fundet direkte: solve(rhs(res)=1,t); Den korrekte l\303\270sning f\303\245s i dette tilf\303\246lde ved sammens\303\246tning af den ved separation fundne l\303\270sning med den konstante l\303\270sning 1, som f\303\270lger LSN:=piecewise(t<sqrt(3),rhs(res),1); plot(LSN,t=-5..5,title="Den korrekte l\303\270sning"); Vi tegner 3 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet: DEplot(ligning2,x(t),t=-5..5,[[x(0)=-1/2],[x(0)=0],[x(0)=1/2]],x=-0.99...0.99,color=grey,linecolor=[red,blue,maroon],stepsize=.1,title="3 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"); Animering: p1:=DEplot(ligning2,x(t),t=-5..5,x=-1...1,color=grey): animate(DEplot,[ligning2,x(t),t=-5..T,[[x(0)=0],[x(0)=1/2]],x=-0.99...0.99,arrows=none,linecolor=[blue,maroon],stepsize=.1,title="2 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"],T=-4.9..5,background=p1);

ligning3:=diff(x(t),t)+2*t*x(t)=2*t^3; Den fuldst\303\246ndige l\303\270sning: dsolve(ligning3); Mellemregning: dsolve(ligning3,useInt); Vi beder Maple om at gange parentesen ud (men ikke g\303\270re noget ved exp): expand(%,exp); Vi beder Maple om kun at at udregne integralet i eksponentialfunktionen: subsindets(%,specfunc(anything,exp),value); value(%); expand(%); combine(%); Den l\303\270sning, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0) = 1 findes s\303\245ledes: res:=dsolve({ligning3,x(0)=1}); plot(rhs(res),t=-2..2); Vi tegner 5 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet: DEplot(ligning3,x(t),t=-2..2,[[x(0)=-1],[x(0)=0],[x(0)=1],[x(0)=2],[x(0)=3]],color=grey,linecolor=[red,blue,maroon,aquamarine,sienna],stepsize=.1,title="5 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"); Animering: p1:=DEplot(ligning3,x(t),t=-2..2,x=-1..3,color=grey): animate(DEplot,[ligning3,x(t),t=-2..T,[[x(0)=-1],[x(0)=0],[x(0)=1],[x(0)=2],[x(0)=3]],arrows=none,linecolor=[red,blue,maroon,aquamarine,sienna],stepsize=.1,title="5 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"],T=-1.99..2,background=p1); Animering, hvor x(0) \303\246ndres fra -1 til 3: p1:=DEplot(ligning3,x(t),t=-2..2,x=-1..3,color=grey): animate(DEplot,[ligning3,x(t),t=-2..2,[[x(0)=x0]],arrows=none,stepsize=.1,linecolor=red,title="L\303\270sning med skiftende begyndelsesv\303\246rdier sammen med h\303\246ldningsfeltet"],x0=-1..3,background=p1,trace=10);

ligning4:=(3+t)*diff(x(t),t)+x(t)=(6+2*t)*exp(-t); Den fuldst\303\246ndige l\303\270sning: dsolve(ligning4); Mellemregning: dsolve(ligning4,useInt); Vi beder Maple om at gange parentesen ud (men ikke g\303\270re noget ved exp): expand(%,exp); Vi beder Maple om kun at at udregne integralet i eksponentialfunktionen: subsindets(%,specfunc(anything,exp),value); Vi vil nu gerne have eksponentialfunktionen under integraltegnet simplificeret: simplify(%); value(%); Den l\303\270sning, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(-2) = 0 f\303\245s s\303\245ledes res:=dsolve({ligning4,x(-2)=0}); plot(rhs(res),t=-3..10,-10..10); Vi tegner 5 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet: DEplot(ligning4,x(t),t=-2.9..10,[[x(-2)=0],[x(-1)=0],[x(0)=0],[x(1)=0],[x(0)=-5]],x=-10..8,color=grey,linecolor=[red,blue,maroon,aquamarine,sienna],stepsize=.1,title="5 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"); Animering, hvor begyndelsesv\303\246rdien x(0) \303\246ndres fra -5 til 7: p1:=DEplot(ligning4,x(t),t=-2.9..10,x=-10..8,color=grey,title="5 l\303\270sninger sammen med h\303\246ldningsfeltet"): animate(DEplot,[ligning4,x(t),t=-2.9..10,[[x(0)=x0]],x=-10..8,arrows=none,linecolor=red,stepsize=.1,title="L\303\270sning med skiftende begyndelsesv\303\246rdi sammen med h\303\246ldningsfeltet"],x0=-5..7,background=p1,trace=10);