Line\303\246r Algebra 3 Preben Alsholm, 15/8 2007 restart; with(LinearAlgebra):

Vi tager en tilf\303\246ldig 4x4-matrix: A:=RandomMatrix(4); Undermatricen der f\303\245s ved at stryge r\303\246kke 1 og s\303\270jle 2 i A er Minor(A,1,2,output=matrix); Underdeterminanten, der f\303\245s ved at tage determinanten af denne matrix er Minor(A,1,2); L\303\246rebogens definition p\303\245 determinanten af A er rekursiv: Den definerer determinanten af en nxn-matrix ud fra kendskabet til determinanter af orden (n-1)x(n-1): add((-1)^(1+i)*A[1,i]*det(Minor(A,1,i,output=matrix)),i=1..4); Lad os antage, at vi allerede ved, hvordan 3x3-matricer udregnes (Maple g\303\270r!), s\303\245 f\303\245s determinanten af A til: eval(%,det=Determinant); Eller lidt mere direkte: add((-1)^(1+i)*A[1,i]*Minor(A,1,i),i=1..4); Og helt direkte f\303\245s determinanten i Maple simpelthen s\303\245ledes: Determinant(A);

A; Determinant(A); A1:=RowOperation(A,[2,1],-A[2,1]/A[1,1]); Determinant(A1); A2:=RowOperation(A1,[3,1],-A[3,1]/A[1,1]); Determinant(A2); A3:=RowOperation(A2,[4,1],-A[4,1]/A[1,1]); Determinant(A3); Eller alle 3 operationer p\303\245 \303\251n gang: Pivot(A,1,1); Determinant(%); GaussianElimination(A); Forudsat, at ingen r\303\246kkeombytninger var n\303\270dvendige, vil determinanten v\303\246re uforandret. Ellers kan fortegnet v\303\246re skiftet: Determinant(%); Fortegnet af determinanten \303\246ndres ved en r\303\246kkeombytning: RowOperation(A,[2,3]); Determinant(%); Determinanten bliver k gange st\303\270rre, hvis en r\303\246kke ganges med k: RowOperation(A,3,k); Determinant(%);

Lad matricen A v\303\246re givet ved A:=Matrix([[7,54,36],[8,-24,-3],[-20,90,23]]); Det karakteristiske polynomium for matricen A kan bestemmes ved kommandoen Determinant(A-ScalarMultiply(IdentityMatrix(3),lambda)); Men der findes ogs\303\245 en procedure CharacteristicPolynomial, der direkte giver polynomiet 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 (proceduren CharacteristicMatrix giver matricen 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) : CharacteristicPolynomial(A,lambda); Egenv\303\246rdierne for matricen A er r\303\270dderne i karakterpolynomiet: solve( %=0, lambda); Egenv\303\246rdierne kan bestemmes direkte ved brug af Eigenvalues: Eigenvalues(A); Egenv\303\246rdier og egenvektorer bestemmes p\303\245 \303\251n gang ved brug af Eigenvectors. Output er en f\303\270lge best\303\245ende af en vektor indholdende egenv\303\246rdierne og en matrix, hvis s\303\270jler er egenvektorer h\303\270rende til egenv\303\246rdierne og angivet i samme r\303\246kkef\303\270lge: Eigenvectors(A); N\303\245r output som her er en f\303\270lge (h\303\251r af l\303\246ngde 2), kan man lave flere tilordninger p\303\245 \303\251n gang, her 2: ev,P:=Eigenvectors(A); Hermed har ev f\303\245et tilordnet vektoren af egenvv\303\246rdier og P er tilordnet matricen, hvis s\303\270jler er egenvektorer: ev; P; En enkelt af egenvektorerne (eksempelvis nr. 2) kan plukkes ud fra P s\303\245ledes: Column(P,2); Kontrol af at egenvektorerne virkelig er egenvektorer kan g\303\270res p\303\245 forskellig m\303\245de: A.Column(P,1); Som vi ser, er dette ev[1] gange f\303\270rste s\303\270jle i P. Dette kan selvf\303\270lgelig g\303\270res direkte: A.Column(P,1)-ev[1]*Column(P,1); eller s\303\245ledes: (A-ev[1]*IdentityMatrix(3)).Column(P,1); Her er IdentityMatrix(3) dog un\303\270dvendig, s\303\245 f\303\270lgende virker ogs\303\245: (A-ev[1]).Column(P,1); Kontrol af de 2 andre s\303\270jler kan foretages p\303\245 samme m\303\245de. Hele kontrollen kan laves p\303\245 en gang s\303\245ledes: seq( (A-ev[k]).Column(P,k), k=1..3); En sidste version: A.P-P.DiagonalMatrix(ev); Matricen A ovenfor er diagonaliserbar. P er en diagonaliserende matrix.

Det er ikke normalt at egenv\303\246rdier og egenvektorer for en matrix er p\303\246ne, bortset fra matricer lavet af matematikl\303\246rere. Lad os som eksempel betragte matricen A:=Matrix([[0,1,3,-4],[1,2,-5,1],[3,1,-4,6],[-1,2,-1,1]] ); Egenv\303\246rdierne for matricen A kan som i Eksempel 1 beregnes ved brug af Eigenvalues, men svaret fylder meget, s\303\245 efter vi har set hvor dejligt indviklet de ser ud, kan vi erstatte semikolon med et kolon, s\303\245ledes at output ikke vises. Herefter vil vi n\303\270jes med at vise decimalbr\303\270kstiln\303\246rmelserne: Eigenvalues(A): evalf(%); Da de fire egenv\303\246rdier er forskellige, er matricen diagonaliserbar. Alternativt kan man lave en decimalbr\303\270ksversion af matricen f\303\270r man finder dens egenv\303\246rdier. I s\303\245 fald bruger Maple en numerisk metode til bestemmelse af egenv\303\246rdierne. Man skal derfor ikke regne med, at egenv\303\246rdierne kommer i samme r\303\246kkef\303\270lge som f\303\270r: Eigenvalues(evalf(A)); (Om sortering efter st\303\270rrelsen af realdelen, se afsnittet nederst). Vi omdanner decimaltal som -6.2+0.I til -6.2 ved brug af simplify: simplify(%); Egenvektorerne f\303\245s som i Eksempel 1 ved brug af Eigenvectors. Den giver en f\303\270lge best\303\245ende af en vektor med egenv\303\246rdierne og en matrix, hvis s\303\270jler er egenvektorerne. Vi gemmer de to i henholdsvis w og P. Outputtet fylder virkelig meget, s\303\245 det undertrykkes i f\303\270rste omgang: w,P:=Eigenvectors(A): Decimalbr\303\270ksversionen af w: evalf(w); fnormal bruges i n\303\246ste linie faktisk kun for at reducere antal viste decimaler, s\303\245 decimalbr\303\270ksversionen af P ikke fylder s\303\245 meget: evalf(P): map(fnormal,%,3); Her f\303\270lger de tilsvarende beregninger med udgangspunkt i en decimalbr\303\270ksversion af A. Her bruger Maple en numerisk metode til bestemmelse af egenv\303\246rdier og egenvektorer: fw,fP:=Eigenvectors(evalf(A)): fw; simplify(fw); map(fnormal,simplify(fP),3); I det numeriske tilf\303\246lde s\303\270rger Maple for at egenvektorerne f\303\245r l\303\246ngde 1 (l\303\246ngde = 2-norm): F\303\270rst kontrolleres dette udsagn p\303\245 f\303\270rste s\303\270jle i fP: Norm(Column(fP,1),2); Her kontrolleres l\303\246ngderne af alle 4 s\303\270jler: seq(Norm(Column(fP,k),2),k=1..4); Ved beregningen af P ovenfor blev ikke brugt en numerisk metode, s\303\245 s\303\270jlel\303\246ngderne er ikke (n\303\270dvendigvis) 1: seq(Norm(Column(evalf(P),k),2),k=1..4);

Lad A v\303\246re matricen A:=Matrix([[12,4,-8],[-13,-2,10],[6,3,-3]]); Eigenvalues(A); Egenv\303\246rdien 2 har alts\303\245 algebraisk multiplicitet 2. Den geometriske multiplicitet fremg\303\245r af Eigenvectors(A); hvor vi ser, at en af s\303\270jlerne best\303\245r af lutter nuller. Dette betyder, at den geometriske multiplicitet af egenv\303\246rdien 2 kun er 1. Alts\303\245 er A ikke diagonaliserbar. Lidt mere direkte ser vi det samme ved at finde NullSpace( A-2 ); Nulrummet for A-2I er alts\303\245 \303\251ndimensional, s\303\245 den geometriske multiplicitet af egenv\303\246rdien 2 er 1. Man kan ogs\303\245 benytte f\303\270lgende version, der giver en liste for hver egenv\303\246rdi indeholdende egenv\303\246rdien, dens algebraiske multiplicitet og en basis for egenrummet: Eigenvectors(A,output=list);

Man kan \303\270nske at sortere output fra Eigenvectors efter st\303\270rrelsen af egenv\303\246rdiernes realdele. Her f\303\270lger en simpel procedure, der kan bruges p\303\245 matricer med numeriske elementer (ingen variable). Proceduren sammenligner decimalbr\303\270kstiln\303\246rmelser. EigenSort:=proc(ev::Vector,P::Matrix) local n,EV,SEV,L; uses LinearAlgebra; n:=Dimension(ev); EV:=convert(<ev|<seq(i,i=1..n)>>,listlist); try SEV:=sort(EV,(s,t)->evalb(evalf(Re(s[1]))<evalf(Re(t[1])))); catch: error cat(procname," kan ikke sortere det givne input"); end try; L:=map2(op,2,SEV); <seq(ev[L[i]],i=1..n)>,Matrix([seq(Column(P,L[i]),i=1..n)]); end proc: Vi afpr\303\270ver proceduren p\303\245 et par matricer. F\303\270rst matricen fra Eksempel 1: A:=Matrix([[7,54,36],[8,-24,-3],[-20,90,23]]); Eigenvectors(A); EigenSort(%); Dern\303\246st matricen fra Eksempel 2: A:=Matrix([[0,1,3,-4],[1,2,-5,1],[3,1,-4,6],[-1,2,-1,1]] ); evalf(EigenSort(Eigenvectors(A))); Og matricen fra Eksempel 3: A:=Matrix([[12,4,-8],[-13,-2,10],[6,3,-3]]); EigenSort(Eigenvectors(A)); EigenSort er ikke lavet til at h\303\245ndtere matricer med variable: A:=Matrix([[12,4,-8],[-13,-2,10],[6,a,-3]]); EigenSort(Eigenvectors(A));