Line\303\246r Algebra 2 Preben Alsholm, 1/8 2006 restart; with(LinearAlgebra):

Lad A v\303\246re matricen A:=Matrix([[0,1,3,-4],[1,2,-5,1],[3,1,-4,6],[-1,2,-1,1]] ); Vi lader B v\303\246re en matrix med elementer valgt som tilf\303\246ldige hele tal mellem -9 og 9: B:=RandomMatrix(4,4,generator=-9..9); Produktet mellem A og B f\303\245s s\303\245ledes, hvor prikken er et punktum: A.B; Lad b v\303\246re s\303\270jlevektoren: b:=<1,-2,-2,6>; Produktet Ab f\303\245s ligesom produktet AB v.hj.a. punktum: A.b;

Den transponerede matrix til en matrix A f\303\245s s\303\245ledes: Transpose(A); Matrixproduktet LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2I1EhRictRiM2JS1JJW1zdXBHRiQ2JS1GLDYlUSJBRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ2l0YWxpY0YnLUYsNiVRIlRGJ0Y3RjovJTFzdXBlcnNjcmlwdHNoaWZ0R1EiMEYnLUkjbW9HRiQ2LVExJkludmlzaWJsZVRpbWVzO0YnL0Y7USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGSy8lKXN0cmV0Y2h5R0ZLLyUqc3ltbWV0cmljR0ZLLyUobGFyZ2VvcEdGSy8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRksvJSdhY2NlbnRHRksvJSdsc3BhY2VHUSYwLjBlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZaRjRGKw== vil altid v\303\246re en symmetrisk matrix: Transpose(A).A; Vi ser, at matricen er symmetrisk. Skalarproduktet mellem to s\303\270jlevektorer eller mellem to r\303\246kkevektorer kan f\303\245s ved brug af punktum ligesom matrixproduktet. Her tager vi som eksempel to r\303\246kkevektorer: v:=Vector[row]([-1,2,-3]); w:=Vector[row]([7,9,13]); v.w; Skalarproduktet kan ogs\303\245 f\303\245s s\303\245ledes: v.Transpose(w); DotProduct(v,w);

Den inverse til A f\303\245s s\303\245ledes: A^(-1); Man kan ogs\303\245 bruge MatrixInverse: MatrixInverse(A); Det korteste er selvf\303\270lgelig at taste A^(-1), hvilket ogs\303\245 kan anbefales. For matricer, der ikke har nogen invers, vil MatrixInverse returnere den s\303\245kaldte Moore-Penrose-pseudoinverse matrix, se herom i hj\303\246lpen til MatrixInverse. Kontrol af den inverse best\303\245r i udregning af 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, der gerne skulle give enhedsmatricen: IdentityMatrix(4); Vi pr\303\270ver: A.A^(-1); Vi fik enhedsmatricen, hvilket viser, at den inverse blev regnet rigtigt ud.

Lad A v\303\246re matricen A:=Matrix([[1,1,-2,1,2],[0,0,2,2,1]]); En basis for nulrummet for: NA:=NullSpace(A); Kontrol af at de 3 vektorer tilh\303\270rer nulrummet: map( v->A.v, NA); Ved "h\303\245ndkraft" kan en basis for nulrummet findes s\303\245ledes: Vi danner f\303\270rst totalmatricen for det homogene system Ax = 0: T:=<A|<0,0>>; Vi reducerer til reduceret echelonform: RRA:=ReducedRowEchelonForm(T); Vi nedskriver det tilsvarende ligningssystem: GenerateEquations(RRA,[x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]]); Vi l\303\270ser for de basale variable vhj.a. solve: solve(%,{x[1],x[3]}); Her f\303\245s s\303\245 l\303\270sningerne til Ax = 0 udtrykt ved de frie variable x2, x4 og x5: subs(%,<x[1],x[2],x[3],x[4],x[5]>); De tre basisvektorer kan pilles ud herfra s\303\245ledes: map(subs,{{x[2]=1,x[4]=0,x[5]=0},{x[2]=0,x[4]=1,x[5]=0},{x[2]=0,x[4]=0,x[5]=1}},%); LinearSolve vil producere en anden (men liges\303\245 god) basis: LinearSolve(RRA,free=x); LinearSolve(A,<0,0>,free=x); NA2:=map(subs,{{x[2]=1,x[3]=0,x[4]=0},{x[2]=0,x[3]=1,x[4]=0},{x[2]=0,x[3]=0,x[4]=1}},%); At de to baser er lige gode kan vises ved at vise, at vektorerne i den ene kan skrives som en linearkombination af vektorerne i den anden og omvendt. Og dette kan evt. g\303\270res s\303\245ledes: V:=<NA[1]|NA[2]|NA[3]>; U:=<NA2[1]|NA2[2]|NA2[3]>; Vi l\303\270ser matrixligningen VX = U for X, hvorved vi unders\303\270ger om vektorerne i NA2 ogs\303\245 skrives som en linearkombination af vektorerne i NA: ReducedRowEchelonForm(<V|U>); X:=%[1..3,4..6]; Der var alts\303\245 en l\303\270sning, og vi bem\303\246rker, at X er invertibel, s\303\245 VX = U medf\303\270rer 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. Alts\303\245 kan vektorerne i NA ogs\303\245 skrives som en linearkombination af vektorerne i NA2.

Lad der v\303\246re givet nogle vektorer v1,v2,v3,v4:=<1,-3,2,-4>,<-3,9,-6,12>,<2,-1,4,2>,<-4,5,-3,7>; Vi vil finde en basis for Span( v1, v2, v3, v4 ) blandt vektorerne v1, v2, v3, v4: Basis([v1,v2,v3,v4]); H\303\245ndkraft: V:=Matrix([v1,v2,v3,v4]); GaussianElimination(V); Pivoteringss\303\270jlerne er 1, 3 og 4. Alts\303\245 er {v1, v3, v4} en basis for Span( v1, v2, v3, v4 ) (og er dermed en basis for s\303\270jlerummet for matricen V).

Rangen af en matrix kan f.eks. defineres som det maksimale antal line\303\246rt uafh\303\246ngige s\303\270jler (eller r\303\246kker!) i matricen. Rangen kan ogs\303\245 defineres som antal fra nulr\303\246kken forskellige r\303\246kker i en echelonform for matricen. Den findes let i Maple. Vi laver f\303\270rst en matrix vi kan afpr\303\270ve: M:=<A,-3*A>; Rank(M); Kontrol: GaussianElimination(M); Antal fra nulr\303\246kken forskellige r\303\246kker i echelonformen er 2, hvilket stemmer med Maples svar p\303\245 rangen. S\303\270jlerummet er rummet udsp\303\246ndt af s\303\270jlerne. En basis for dette rum f\303\245s i Maple s\303\245ledes: ColumnSpace(M); Dimensionen af s\303\270jlerummet er det samme som rangen af matricen.