Line\303\246r Algebra 1: Line\303\246re ligningssystemer Preben Alsholm, 1/8 2006 restart; with(LinearAlgebra):

En matrix A kan defineres p\303\245 f\303\270lgende m\303\245de, hvor man giver Maple en liste af lister, nemlig en liste af r\303\246kkerne i matricen. Hver r\303\246kke er selv en liste: A:=Matrix([[0,1,3,-4],[1,2,-5,1],[3,1,-4,6],[-1,2,-1,1]] ); Man kunne i stedet begynde med at definere s\303\270jlevektorerne ved brug af <...> s\303\245ledes: s1:=<0,1,3,-1>; s2:=<1,2,1,2>; s3:=<3,-5,-4,-1>; s4:=<-4,1,6,1>; Eller p\303\245 \303\251n gang: s1,s2,s3,s4:=<0,1,3,-1>,<1,2,1,2>,<3,-5,-4,-1>,<-4,1,6,1>; En s\303\270jlevektor kan ogs\303\245 defineres ved brug af Vector (eller mere udf\303\270rligt Vector[column] ) s\303\245ledes: Vector([7,9,13]); Vil man definere en r\303\246kkevektor kan man enten bruge tegnene <, > og | s\303\245ledes: <7|9|13>; eller man kan bruge Vector[row] s\303\245ledes: Vector[row]([7,9,13]); Tilbage til matricen A: Denne kunne nu i stedet defineres som matricen best\303\245ende af de fire s\303\270jlevektorer s1, s2, s3 og s4, enten ved brug af Matrix: Matrix([s1,s2,s3,s4]); eller ved brug af <...>. Den lodrette streg | skal s\303\245 benyttes til at adskille s\303\270jlerne: <s1|s2|s3|s4>; Ved brug af udelukkende symbolerne <, > og | kan matricen A defineres direkte s\303\245ledes: <<0,1,3,-1>|<1,2,1,2>|<3,-5,-4,-1>|<-4,1,6,1>>; Man kan angive en funktion, der fort\303\246ller hvordan elementerne i matricen skal regnes ud. Vil man eksempelvis definere en 2x7-matrix i hvilket elementet i positionen (i, j) skal v\303\246re tallet 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 , s\303\245 g\303\270r man s\303\245ledes Matrix(2,7,(i,j)->j-i^2); Hvis man \303\270nsker en kvadratisk matrix, eksempelvis en 3x3, beh\303\270ver man kun give r\303\246kkeantallet: Matrix(3,(i,j)->j-i^2); Matricen A bliver vist, hvis blot den bliver n\303\246vnt. Dette foruds\303\246tter dog (til at begynde med), at den ikke er st\303\270rre end 10x10 : A; Er matricen st\303\270rre end 10x10, s\303\245 vil matricen som default ikke blive vist. Her f\303\270lger et eksempel p\303\245 en 11x11-matrix (en s\303\245kaldt Hilbert-matrix): H:=Matrix(11,(i,j)->1/(i+j-1)); Pr\303\270v nu at h\303\270jreklikke p\303\245 output. V\303\246lg Browse. Her kommer nu en Matrix-Browser frem. Man kan \303\246ndre den \303\270vre gr\303\246nse p\303\245 10x10 ved en interface-kommando. Vil man f.eks. ingen gr\303\246nse have, kan man g\303\270re s\303\245ledes: interface(rtablesize=infinity); H; Har man brug for eksempler p\303\245 matricer kan man bede Maple om at finde en tilf\303\246ldig matrix. Vi definerer her en 4x5-matrix B med elementer valgt som tilf\303\246ldige hele tal mellem -9 og 9: B:=RandomMatrix(4,5,generator=-9..9);

L\303\270sning af line\303\246re ligningssystemer foreg\303\245r ved hj\303\246lp af LinearSolve. Hvis systemet p\303\245 matrixform er Ax=b, hvor A er givet ovenfor: A; og hvor s\303\270jlevektoren b er givet ved b:=<1,-2,-2,6>; l\303\270ses systemet s\303\245ledes LinearSolve(A,b); Systemets totalmatrix kan simplest dannes ud fra A og b ved brug af tegnene <, > og | T:=<A|b>; men kan ogs\303\245 dannes s\303\245ledes Matrix([A,b]); Giver man LinearSolve kun \303\251t argument, s\303\245 tolker den dette som totalmatricen for et line\303\246rt ligningssystem: LinearSolve(T);

\303\230nsker vi at f\303\270lge l\303\270sningen af systemet Ax=b via Gauss-elimination g\303\270r vi som f\303\270lger. F\303\270rst dannes totalmatricen: T:=<A|b>; Resultatet af Gauss-elimination f\303\245s s\303\245ledes: GaussianElimination(T); Resultatet af Gauss-Jordan-elimination (dvs. reduktion til reduceret echelonform): ReducedRowEchelonForm(T); Herefter kan den reducerede matrix igen omskrives til det tilsvarende ligningssystem. I vores eksempel er det s\303\245 simpelt, at det egentlig ikke er n\303\270dvendigt, men vi g\303\270r det alligevel: GenerateEquations(%,[x1,x2,x3,x4]); RowOperation udf\303\270rer de enkelte r\303\246kke- eller s\303\270jleoperationer: F\303\270rst ombyttes r\303\246kke 1 og 2, R1 <-> R2: T1:=RowOperation(T,[1,2]); Dern\303\246st r\303\246kkeoperationen R3:=R3-3*R1 : T2:=RowOperation(T1,[3,1],-3); R\303\246kkeoperationen R4:=R4+R1 g\303\270r s\303\245 arbejdet i f\303\270rste s\303\270jle f\303\246rdig: T3:=RowOperation(T2,[4,1],1); Man m\303\245 s\303\245 forts\303\246tte med anden s\303\270jle osv. Man kan i stedet bruge Pivot, hvor kommandoen Pivot( A, i, j); skaber nuller over og under (i, j)-elementet i den j'te s\303\270jle. Ved tilf\303\270jelse af et fjerde argument kan man styre i hvilke r\303\246kker, der skal skabes nuller: Pivot(T1,1,1); Pivot(%,2,2,3..4); Pivot(%,3,3,4); \303\230nskes br\303\270ker undg\303\245et i den reducerede matrix, s\303\245 kan man tilf\303\270je method='FractionFree': GaussianElimination(T,method='FractionFree');

Vi kan billigt lave et eksempel p\303\245 et ligningssystem med l\303\270sning indeholdende en fri parameter ved at fjerne eksempelvis f\303\270rste r\303\246kke i A: A1:=A[2..4,1..4]; Lad b1 v\303\246re h\303\270jresiden: b1:=<5,0,7>; Vi l\303\270ser systemet A1 x = b1. Ved tilf\303\270jelsen free = t bestemmer vi, at en (evt.) fri parameter kommer til at hedde t med et index: LinearSolve(A1,b1,free=t); Totalmatricen: T1:=<A1|b1>; GaussianElimination(T1); ReducedRowEchelonForm(T1); Det tilsvarende ligningssystem: GenerateEquations(%,[x1,x2,x3,x4]); x4 er \303\245benbart en fri parameter og vi s\303\246tter den til 7t for at undg\303\245 br\303\270ker i resultatet: subs( x4=7*t,%); Dette simple ligningssystem skal nu l\303\270ses for x1, x2 og x3. Dette kan g\303\270res vha. af solve: solve(%, {x1,x2,x3}); Endelig kan vi skrive resultatet p\303\245 vektorform s\303\245ledes: subs(%, x4=7*t, <x1,x2,x3,x4>);