Gymnasieopgave: Keplers tønderegel  .

Opgave 1.

>    restart;with(plots): 

Warning, the name changecoords has been redefined

Figur 1:

Spørgsmål 1. Bestem r(x) og og det eksakte volumen V ved formel (1) .

>    r:=x->3/2+x/2;

>    plot({r(x),[[-1,0],[-1,1]],[[1,0],[1,2]]},x=-1..1,y=0..2,color=black);

>    V:=Pi*int(r(x)^2,x=-1..1);

>    V:=evalf(V);

r := x -> 3/2+1/2*x

[Maple Plot]

V := 14/3*Pi

V := 14.66076572

Rumligt plot af tønden :

>    p1:=plot3d([-1,rho*cos(phi),rho*sin(phi)],phi=0..2*Pi,rho=0..1,axes=boxed):

>    p2:=plot3d([1,rho*cos(phi),rho*sin(phi)],phi=0..2*Pi,rho=0..2,axes=boxed):

>    p:=tubeplot([t,0,0],t=-1..1,radius=r(t),tubepoints=20,axes=boxed):

>    display(p,p1,p2);

[Maple Plot]

Spørgsmål 2. Bestem V_kepler ved hjælp af Keplers tøndeformel (7) .

>    V_kepler:=simplify(Pi*(r(-1)^2+4*r(0)^2+r(1)^2)/3);

>    V_kepler:=evalf(V_kepler);

V_kepler := 14/3*Pi

V_kepler := 14.66076572

Spørgsmål 3. Find fejlen F = | V_kepler  - V |  og sammenlign med restleddet R givet i formel (6) .

>    fejl:=V-V_kepler;

>    G4:=simplify(diff(r(x)^2,x$4));

>    G4max:=Pi*maximize(abs(G4),x=-1..1);

>    restled:=-2^5/2880*G4max;

>    plot(G4,x=-1..1);

fejl := 0.

G4 := 0

G4max := 0

restled := 0

[Maple Plot]

Figur 2:

Spørgsmål 1. Bestem r(x) og og det eksakte volumen V ved formel (1) .

>    r:=x->3/2-x^2/2;

>    plot({r(x),[[-1,0],[-1,1]],[[1,0],[1,1]]},x=-1..1,y=0..2,color=black);

>    V:=Pi*int(r(x)^2,x=-1..1);

>    V:=evalf(V);

r := x -> 3/2-1/2*x^2

[Maple Plot]

V := 18/5*Pi

V := 11.30973355

Rumligt plot af tønden :

>    p1:=plot3d([-1,rho*cos(phi),rho*sin(phi)],phi=0..2*Pi,rho=0..1,axes=boxed):

>    p2:=plot3d([1,rho*cos(phi),rho*sin(phi)],phi=0..2*Pi,rho=0..1,axes=boxed):

>    p:=tubeplot([t,0,0],t=-1..1,radius=r(t),tubepoints=20,axes=boxed):

>    display(p,p1,p2);

[Maple Plot]

Spørgsmål 2. Bestem V_kepler ved hjælp af Keplers tøndeformel (7) .

>    V_kepler:=simplify(Pi*(r(-1)^2+4*r(0)^2+r(1)^2)/3);

>    V_kepler:=evalf(V_kepler);

V_kepler := 11/3*Pi

V_kepler := 11.51917307

Spørgsmål 3. Find fejlen F = | V_kepler  - V |  og sammenlign med restleddet R givet i formel (6) .

>    fejl:=V-V_kepler;

>    G4:=simplify(diff(r(x)^2,x$4));

>    G4max:=Pi*maximize(abs(G4),x=-1..1);

>    restled:=-2^5/2880*G4max;

>    plot(G4,x=-1..1);

fejl := -.20943952

G4 := 6

G4max := 6*Pi

restled := -1/15*Pi

[Maple Plot]

Opgave 2.

En bestemmelse af Perrier-flaskens overflade giver

>    r:=x->2.9617945-0.20548466*x-0.015247329*x^2+0.0013511215*x^3+5.1002379E-5*x^4;

r := x -> 2.9617945-.20548466*x-.15247329e-1*x^2+.13511215e-2*x^3+.51002379e-4*x^4

>    plot({r(x),[[-9.3,0],[-9.3,r(-9.3)]],[[9.3,0],[9.3,r(9.3)]]},x=-9.31..9.31,y=0..4,color=black);

>    V:=Pi*int(r(x)^2,x=-9.3..9.3);

>    V:=evalf(V);

[Maple Plot]

V := 137.5632254*Pi

V := 432.1676184

Rumligt plot af tønden :

>    p1:=plot3d([-9.3,rho*cos(phi),rho*sin(phi)],phi=0..2*Pi,rho=0..r(-9.3),axes=boxed):

>    p2:=plot3d([9.3,rho*cos(phi),rho*sin(phi)],phi=0..2*Pi,rho=0..r(9.3),axes=boxed):

>    p:=tubeplot([t,0,0],t=-9.3..9.3,radius=r(t),tubepoints=20,axes=boxed):

>    display(p,p1,p2,scaling=CONSTRAINED);

[Maple Plot]

Keplers tønderegel giver:

>    V_kepler:=simplify(Pi*(r(-9.3)^2+4*r(0.0)^2+r(9.3)^2)/6*2*9.3);

>    V_kepler:=evalf(V_kepler);

>    fejl:=V-V_kepler;

V_kepler := 434.7989576

V_kepler := 434.7989576

fejl := -2.6313392

Og fejlen i procent:

>    'abs(fejl/V*100)'=abs(fejl/V*100);

abs(100*fejl/V) = .6088700513

Altså fejlen er ca 6 promille !!!

>